Еще со школы всем нам известно, что трение приводит к замедлению и последующему прекращению движения. Это так. Но не всегда так. Ярчайший пример противного есть течение любой жидкости по трубе. Чему и посвящен этот текст с картиками под катом.
Любую жидкость в трубе проталкивает перепад давления вдоль трубы. Но из-за вязкости жидкости (внутреннего трения в ней) сама жидкость на стенках трубы прилипает к ним и, тем самым, скорость жидкости на стенках трубы обращается в ноль. А максимум скорости достигается на оси трубы (такое течение носит имя Пуазейля):
На этой картинке мы видим сдвиговое движение слоев жидкости. В то же время в предыдущем псто на примере сдвигового движения типа "разрыва" скорости (ветер над водой) было показано, что сдвиговое движение приводит к раскачке случайных возмущений до приличных амплитуд (неустойчивость Кельвина - Гельмгольца). Пример сдвигового движения такого типа приведен на этом рисунке:
Здесь черной линией показан резкий разрыв скорости (вариант ветра над водой), а красной линией - размазанный разрыв скорости (перепад скорости ветра по высоте в атмосфере). И резкий и даже весьма размазанный разрывы приводят к возбуждению волн. Что мы видим и в волновых сгущениях облаков в небе.
Факт неустойчивости течений с разрывом скорости заставил физиков исследовать и вопрос об устойчивости сдвигового течения жидкости по трубе. Разумеется, для простоты сначала был изучен случай "идеальной" жидкости, в которой вязкость (внутреннее трение) тождественно равна нулю. И был получен результат - течение жидкости в трубе (Пуазейля) при любом максимуме скорости устойчиво.
Экспериментаторы, однако, утверждают обратное. Сколь бы они ни шлифовали внутренние стенки трубы, течение реальной жидкости (с не равной нулю вязкостью) теряло устойчивость при достижении максимальной скорости течения некоторого критического значения (точнее числа Рейнольдса - произведения максимальной скорости на диаметр трубы, деленного на вязкость жидкости). И эта потеря устойчивости приводила к возбуждению турбулентности в потоке.
Итак, возникло конкретное противоречие между теорией и эксперименом. Более детальное исследование привело к доказательству теоремы, суть которой сводится к утверждению: Если в профиле скорости нет точки перегиба (где выпуклый профиль скорости сменяется на вогнутый), то неустойчивость не возбуждается, а если точка перигиба есть, то неустойчивость возбуждается.
В течении Пуазейля точки перегиба нет. И, значит, оно обязано быть устойчивым. За более чем полвека было после доказательства упомянутой теоремы было опубликовано более полусотни работ, в том числе с учетом вязкости, показавших, что течение Пуазейля устойчиво. Тем самым, противоречие между теорией и экспериментом было законсервировано. Однако, в 1944 году один китаец американского происхождения (Лин) рассмотрев проблему с использованием ТФКП (теории функций комплексного переменного) показал, что частота любых возмущений в течении Пуазейля при числах Рейнольдса больше критического оказывается комплексным числом. Мнимая часть которого (инкремент) характеризует скорость экспоненциального роста амплитуды произвольных малых возмущений в жидкости. И в конечном счете приводит к турбулизации течения Пуазейля.
Итак, более чем полувековая загадка была успешно разрешена Лином. Без пересмотра уравнений гидродинамики. Прекрасно! Однако, загадка эта была разрешена лишь математически. Физика неустойчивости течения Пуазейля оставалась по-прежнему неизвестной. Поскольку математика показывала, что именно вязкость, как внутреннее трение в жидкости, приводит не к затуханию произвольных возмущений, а к их раскачке. Как такое может быть?
Как ни странно, помощь в решении последней пришла извне - из исследований неустойчивости плазмы. В которые интенсивно врезались многие из лучших физиков мира. И на которые механики и математики в большинстве своем внимания не обратили.
Физики-плазмисты обратили внимание на величину полной энергии неустойчивых малых возмущений в плазме с учетом диссипативных процессов, к числу которых принадлежит и внутреннее трение (вязкость). В ряде случаев полная энергия возмущений с учетом диссипации оказалась отрицательной. В этом случае вязкость, отнимающая энергию движения у плазмы, увеличивает абсолютную величину энергии малых возмущений. Приводя, тем самым, к росту амплитуды этих возмущений. Вплоть до турбулизации плазмы. Такие неустойчивости стали называть диссипативными.
Итак, турбулизация движения жидкости по трубе (течение Пуазейля) является следствием развития в таком течении диссипативной неустойчивости. Загадка, просуществовавшая почти век, была благополучно разрешена без пересмотра уравнений гидродинамики.
P.S. А знаете ли вы, что расход жидкости сквозь трубу при одном и том же перепаде проталкивающего ее давления пропорционален не площади сечения трубы, а квадрату этой площади? Другими словами, расход пропорционален четвертой степени диаметра.
Journal information