Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Categories:

Начала физики. 5. Главный закон механики.

  Галилей заложил фундамент корректной экспериментальной физики. И закрепил на нем первый камень теоретической физики, сформулировав свой принцип инерции (он же - принцип относительности Галилея, он же - первый закон Ньютона). Через полвека Ньютон, осмыслив законы Кеплера и наследие Галилея, познал закон всемирного тяготения (как - мы видели на уроке 3). И, разработав вдобавок основы дифференциального исчисления, сформулировал главный закон механики - свой второй закон, определяющий правила движения тел. Смысл и ценность которого обсудим на этом уроке.

      1. Опыт и фантазия - лучшие друзья гения.
      Еще Галилей использовал понятия положения, скорости и ускорения тел. Не определяя их строго математически. Ньютон, разработав математический аппарат дифференцирования функций, определил скорости тел, как первые производные по времени координат положения тел, и ускорения, как первые производные по времени от скоростей тел или вторые производные по времени от их координат.
      Казалось бы, необходимая для построения адекватной теории движения тел цепочка все более высоких производных координат тел по времени неизбежна. Однако, вся совокупность известных Ньютону опытов показывала, что для построения однозначной теории достаточно составлять уравнения, включающие сами координаты, их первые производные по времени (скорости) и вторые производные по времени (ускорения) тел. И только.
Этот факт уже сильно упрощает теорию движения тел – в ней проявляются только дифференциальные уравнения второго порядка. Более того, вся совокупность опытов показывала, что в уравнения движения тел в адекватной теории вторые производные от координат по времени входят только линейно (в первой степени). Этот еще сильнее упрощает и теорию, и методы решения уравнений движения тел.
      В результате Ньютон признал законом природы тот факт, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него физической силе (в векторном смысле) и обратно пропорционально массе частицы:

                                 а = k*F/m.      (1)

Это равенство, являющееся по сути дифференциальным уравнением второго порядка, и называют вторым законом Ньютона. Выбором системы единиц измерения легко сделать коэффициент k = 1.
      Отметим два допущения, использованных при выводе уравнения (1), представляющего второй закон Ньютона.
1. Размерами тела по сравнению с протяженностью проходимой им траектории в уравнении (1) пренебрегается. Поэтому тело в такой формулировке механики часто называют материальной точкой (или частицей).
2. Масса тела (частицы) в уравнении (1) предполагается постоянной и не зависящей от положения, скорости и ускорения тела: m = const. Это позволяет ввести понятие импульса p = mv, более удобное для дальнейшего изучения механики.
      Законы Ньютона можно, конечно, воспринимать как некие аксиомы, позволяющие построить внутренне непротиворечивую теорию. Но следует помнить, что эти законы являются результатом осмысления всей совокупности полученных до Ньютона опытных данных.

      2. Успехи философского обоснования второго закона Ньютона.
     
Успехи последующего развития механики и ее математического аппарата на фоне господствующего в те времена религиозно-философского мировоззрения привели к еще одной формулировке основ механики, основанной на принципе наименьшего действия. Согласно которому Всевышний устроил мир таким, что реальное движение реального тела происходит так, что некий функционал вдоль реальной траектории тела принимает наименьшее значение. А вдоль всех других мыслимых траекторий он больше. Этот функционал назвали Действием и он оказался интегралом вдоль траектории от некоей функции Лагранжа. Которая по наущению Всевышнего оказалась простой разностью кинетической и потенциальной энергий тела.
  Принцип наименьшего действия оказался чрезвычайно полезным как с точки зрения упрощения вывода уравнений движения тел в механике, так и в других разделах физики. Но изучать его вы будете только в курсе Теоретической механики.

      3, Численное интегрирование уравнений движения (1).
      Мы уже знаем, что a = dv/dt = d²r/dt². И, допустим, знаем зависимость силы от координат частицы, ее скорости и времени F = F(r,v,t). Перед нами векторное дифференциальное уравнение 2-го порядка

r/dt² = F (r, v, t)/m.     (2)

      Что с ним делать? Как его решать, не умея интегрировать дифференциальные уравнения?
      Для ответа на этот вопрос рассмотрим простой частный случай и на нем построим вариант очень простого, даже примитивного, метода численного  решения такого уравнения. Пусть этот частный случай – одномерное движение тела в газе или жидкости, испытывающего сопротивление своему движению со стороны натекающего на него потока силой F = –  αv². Такая зависимость силы от скорости характерна при турбулентном обтекании тела.
  Уравнение (1) такого движения можно разбить на два дифференциальных уравнения первого порядка:

                              dv/dt = – Av²,      (3)
                              dх/dt = v,             (4)

где А = α/m. Будем действовать как экспериментаторы, используя разностное исчисление. Разделим время на малые промежутки-кванты величиной τ. Будем считать, что х(t=0) = 0, v (t=0) = v0 и будем нумеровать значения v индексом n при t = nτ. В итоге мы получим простую разностную алгебраическую схему:
                   vn+1 =  vnτAvn²,    (5)
                       xn+1 = xn + τvn,         (6)

решая которую при указанных выше начальных условиях получим приближенные графики v(t) и x(t) с погрешностью О(τ). И уменьшая при необходимости шаг по времени τ будем уменьшать погрешность численного решения задачи.
  На самом деле приведенный выше метод очень часто применяется на практике. Разумеется, с использованием не столь простой схемы, а гораздо более точных разностных схем. Таким образом считали движение артиллерийских снарядов при различных состояниях атмосферы и ветров и на разных широтах, движение взаимодействующих между собой планет вокруг Солнца и многое другое, что не удается рассчитать аналитически.
Tags: Начала физики
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo moralg march 5, 2018 03:01 44
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 6 comments