Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Categories:

Начала физики. 7. Сохранение энергии и идеология потенциала.

      В нашей жизни отдельные слова - лишь элементы языка общения между людьми. Но их совокупности могут создавать смыслы и образы в сознании общающихся. Математика - тоже язык. Непривычный для большинства из нас. И потому слабо пригодный для создания смыслов и образов.
      Но есть еще один понятный многим язык - язык изображений. Графиков, рисунков, фотоснимков и даже художественных полотен. И потому физики нередко используют этот язык для понимания явлений и процессов. Создавая у себя в мозгах достаточно адекватные и потому легко запоминающиеся образы. Одним из эффективных примеров такого подхода является идеология потенциала. О чем и пойдет речь на этом уроке.

Закон сохранения энергии, как факт постоянства суммы кинетической и потенциальной энергий частицы, на которую не действуют диссипативные силы (силы трения), хорошо известен всем со школьных времен. Поэтому доказывать его я не буду. Опровергать – тем более. Но использую сей факт для обоснования идеи потенциала и его связи с консервативными силами. Консервативными называют силы, зависящие только от координат F = F (r) (работа таких сил не зависит от траектории, по которой частица движется из одной точки пространства в другую).


Из определения кинетической энергии T = mv²/2 и второго закона Ньютона (mdv/dt = F) следует:

dT/dt = d(mv²/2)/dt = mvdv/dt = vF,    (1)

где (
vF) - скалярное произведение векторов скорости частицы и действующей на нее силы. Дифференцируя теперь по времени потенциальную энергию U(r), напрямую от времени не зависящую, но зависящую опосредованно через зависимость r = r(t), получаем:

dU/dt = dU/dr*dr/dt = (vdU/dr) = (vU),    (2)

где для обозначения производной
по координатам (как вектора) скалярной потенциальной энергии используем обозначение (набла; векторную производную скаляра по координатам называют также градиентом скаляра). Дифференцируя теперь по времени сохраняющуюся энергию частицы E = T + U = const, видим:

dT/dt = - dU/dt  = vF = vU,        (3)

откуда следует, что:


    F = U.                                (4)

То есть, вектор действующей на частицу силы можно представить как минус градиент скаляра (потенциальной энергии частицы).  В задачах с одномерным движением частицы такая замена не дает никаких преимуществ. Но в случаях двумерного или трехмерного движения операции со скаляром U вместо операций с вектором F нередко ведут к заметному упрощению математических выкладок и вдобавок к весьма наглядному представлению задач.


На практике часто используют понятие потенциала, как потенциальной энергии, приходящейся на единицу массы (U/m). Это удобно, поскольку не приходится лишний раз писать букву, обозначающую массу частицы. Поэтому потенциал часто обозначают той же буквой U, что и потенциальную энергию. Мы тоже будем так поступать.

Расмотрим теперь ряд примеров потенциала:

1. О
дномерное движение массы на пружинке жесткости k вдоль оси х при условии, что х = 0 соответствует недеформированной пружинке (F = – kx, U = kx²/ 2m). Пропорциональность смещения силе характерна для малых смещений и называется законом Гука. Потенциал и потенциальная энергия в этом случае представляют собой квадратичную (параболическую) яму:

Движение частицы в которой при заланной энергии Е осуществляется от одной точки поворота ао (в которой кинетическая энергия обращается в нуль) до другой и затем обратно.


2. Колебания математического маятника (см. рисунок, F = – mgsinφ, U = – glcosφ). Потенциал в этом случае представляет собой не совсем параболическую яму. Но весьма близкую к параболической при малых φ << 1 (угол φ измеряется в радианах) - вспомните график перевернутого косинуса и обратите внимание на уменьшение градиента потенциала и, следовательно, возвращающей силы при росте угла φ от φ << 1 до φ ~ 1).




3. Движение в гравитационном поле (F = – GmM(r/r)/r², U = – GM/r). Потенциал в этом случае имеет бесконечно глубокую яму в центре поля при r = 0. И не имеет ям при r 0. Поэтому, казалось бы, движение в таком поле должно представлять собой только падение частицы на центр поля. Но мы знаем, что именно в таком поле планеты вращаются вокруг Солнца. То есть, их движение в радиальном направлении никогда не достигает центра поля - Солнца. Что мы в этом случае не учитываем в потенциале – увидим на одном из следующих уроков.

Tags: Начала физики
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo moralg march 5, 2018 03:01 44
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 6 comments