1. Модель сплошной среды и уравнение ее динамики.
В каждом кубическом сантиметре окружающего нас воздуха находится примерно n ~ 3*10↑19 молекул. В кубическом сантиметре воды - почти на три порядка больше. Чудовищно огромные числа! И все эти молекулы непрерывно сталкиваются друг с другом. В воде расстояния, пролетаемое молекулами от одного столкновения до другого столкновения (длина свободного пробега l) практически равны расстояниям между молекулами, то есть l ~ 10 ↑ (-8) см, а в окружающем нас воздухе l ~ 10 ↑ (-4) см. Чудовищно мелкие масштабы!
Опираясь на эти цифры построим модель, в которой частицей (жидкой частицей) является объем, размеры которого во многие сотни раз больше длины свободного пробега молекул l. В воздухе размеры таких объемов будут доли миллиметра, в воде - доли микрона.
Затем окружим эти объемы "кожей" толщиной в десятки длин свободного пробега молекул l. Попавшие в "кожу" молекулы столкнутся многие сотни и тысячи раз внутри "кожи" прежде чем просочатся за пределы ее толщины. Обеспечив, тем самым, практически постоянный молекулярный состав заключенной в относительно тонкий "кожный" мешок жидкой частицы. Мы говорим жидкой потому, что допускаем деформации формы такой частицы в процессе ее движения при почти неизменном ее составе и, следовательно, практически неизменной ее массе.
Мы почти готовы написать основанное на втором законе Ньютона уравнение движения такой жидкой частицы. Имея ввиду, что на ее массу действуют внешние силы типа градиента потенциала некоего поля (например, гравитационного) и силы давления на границы этой частицы от соседних частиц. Но в силу неопределенности ее массы и размеров такой частицы договоримся сначала о нормировании этих сил в удельных величинах. Так, вместо массы частицы нам будет удобно использовать плотность среды, то есть, массу, приходящуюся на единицу объема среды. Но тогда силы давления надо нормировать на единицу площади "кожи" такой частицы. То есть, использовать в уравнении не разность сил давления, а разность самих давлений, действующих на противоположные стороны частицы от соседних частиц. С учетом этих договоренностей уравнение движения такой частицы приобретает вид:
ρdv/dt = – ∇p – ρ∇U, (1)
где p – давление в жидкости (газе), ρ – плотность жидкости (газа), U - потенциал внешних сил.
2. Уравнение Бернулли (приближенный закон сохранения энергии).
Как мы помним, для отдельной частицы уравнение dv/dt = – ∇U есть следствие закона сохранения энергии частицы при ее движении в поле с потенциалом U. А уравнение (1) к такой же форме привести не удается - мешает множитель 1/ρ перед градиентом давления. Можно ли этот множитель занести под знак градиента? Для практически несжимаемых жидкостей, очевидно, можно. А для газов?
На собственном опыте мы знаем, что даже при очень сильном ветре дышать нам практически ничуть не труднее, чем при штиле. То есть, воздух в этом случае ведет себя как почти несжимаемая жидкость. И, действительно, как показывают корректные оценки, относительная сжимаемость газа δρ/ρ при колебаних скорости движения газа δv связаны между собой соотношением:
δρ/ρ ~ (δv/cs)², (2)
где cs - скорость звука в газе (в приземном воздухе cs ≈ 340 м/сек ≈ 1220 км/час). Таким образом, даже в ураганных по нашим понятиям порывах ветра от штиля до 35 м/сек относительная сжимаемость воздуха не превышает 1%.
Понимая смысл оценки (2) мы получаем право переписать уравнение (1) для существенно дозвуковых течений газа в виде:
dv/dt = – ∇(p/ρ + U), (3)
откуда для жидких частиц, как и в случае отдельной частицы, следует приближенный в смысле (2) закон сохранения энергии для жидкой частицы:
v²/2 + p/ρ + U = const, (4)
который принято называть уравнением Бернулли.
3. Подъемная сила крыла дозвукового самолета.
Почему летают самолеты? Ответ - они летают, используя уравнение Бернулли. Действительно, взглянем на эту картинку:
На ней видно, что поток воздуха над выпуклым вверх крылом проходит заметно больший путь, чем соединяющийся с ним поток воздуха под крылом. Но больший путь над крылом поток вынужден проходить с большей скоростью, чем скорость потока под крылом. То есть первое слагаемое в (4) над крылом больше, чем под крылом. Самолет не слишком резко меняет высоту и потому изменением гравитационного потенциала U мы можем пренебречь. И в этом случае из (4) следует, что давление над крылом ниже, чем под крылом. Откуда и появляется подъемная сила крыла дозвукового самолета (для сверхзвуковых самолетов уравнение Бернулли не применимо).
Journal information