Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Categories:

Начала физики. 16. Как придумали момент импульса и закон его сохранения.

Мы уже показали, что из принципа инерции Галилея (первого закона Ньютона) следует закон сохранения импульса для частицы, на которую не действуют внешние силы, Что из третьего закона Ньютона следует закон сохранения импульса системы из двух и более взаимодействующих частиц, на которую не действуют внешние силы, Увидели, что второй закон Ньютона дает нам уравнения движения частиц под воздействием внешних сил. Все, что можно взять от Ньютона, мы взяли.

  А вот от Кеплера мы взяли только третий его закон и увидели, что из него вытекает закон всемирного тяготения Ньютона. Пора бы нам использовать и первый, и второй законы Кеплера.

Первый закон Кеплера говорит о том, что каждая планета движется по орбите, лежащей в некоей фиксированной плоскости. Следовательно, любой вектор, перпендикулярный этой плоскости, сохраняет свое направление. То, что эта орбита суть эллипс, в этом умозаключении никакой роли не играет.

Второй закон Кеплера гласит, что радиус-вектор от Солнца к планете за равные промежутки времени заметает равные (треугольные) площади. Это означает, что произведение расстояния от Солнца до планеты на скорость планеты и на синус угла между этими векторами сохраняется (это площадь параллелепипеда = удвоенной площади треугольника на векторах r и v).


Итак, мы видим два закона сохранения: сохранение направления неизвестного вектора, перпендикулярного неизменной плоскости орбиты планеты и сохранение в одинаковые промежутки времени площади параллелепипеда, построенной на двух векторах – радиус-векторе планеты и ее скорости. Каждый из которых перпендикулярен первому вектору, перпендикулярному плоскости орбиты планеты.


Естественно вытекающее из этого факта желание объединить эти два закона сохранения в один. Что и было сделано изобретением векторного произведения двух векторов в частности и векторной алгебры в целом и общем.

Объединяющая векторная конструкция выглядит так: M = [r*p], где r радиус-вектор планеты с Солнцем в начале системы координат, p – импульс планеты, Mсохраняющийся в процессе движения планеты момент ее импульса. Квадратными скобками обозначается векторное произведение двух заключенных внутри них векторов, которое как вектор по направлению перпендикулярен обоим векторам внутри скобок, а по величине равен произведению абсолютных величин этих векторов на синус угла между ними.

Таким образом,
момент импульса – сохраняющаяся величина (как вектор) в «кулоновом» поле, являющимся частным случаем произвольных центральных полей U = U (r).

Разумеется, пространство в любом центральном поле не однородно ни по какому направлению. И потому ожидать сохранения импульса частицы в таких полях не следует. Но пространство в таких полях изотропно относительно вращений вокруг любых осей. И эта изотропия оказывается эквивалентной сохранению момента импульса в таких полях.

По аналогии с подобной связью однородности пространства в неких направлениях с сохранением компонент импульса в тех же направлениях мы можем поставить вопрос о связи изотропии пространства относительно вращения вокруг некоторых осей с сохранением компонент момента импульса вдоль этих осей. И положительно ответить на этот вопрос.

Например, в полях ориентированных вдоль оси  "z" однородных бесконечных прямых нитей, цилиндров и конечных конусов сохраняется, очевидно, компонента момента импульса Mz. То же самое справедливо и в отношении кругового тора, ось симметрии которого совпадает с осью "z".

Интересный пример представляет поле бесконечной винтовой линии-пружинки с шагом
h. Из очевидных соображений любая частица в таком поле не будет чувствовать его изменения, если совершая один оборот вокруг оси такой пружинки будет одновременно сдвигаться вдоль этой оси на величину шага h. Такая смесь однородности и изотропии пространства приводит, как показывают несложные вычисления, к закону сохранения Мz + hpz/2π = const. Занимательно, не правда ли?

Tags: Начала физики
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo moralg march 5, 2018 03:01 44
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 3 comments