Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Categories:

Начала физики. 17. Кеплерова задача.

      Кеплеровой задачей называют задачу о движении планеты вокруг Солнца. С точки зрения второго закона Ньютона она сводится к решению системы двух (в силу двумерного характера движения) дифференциальных уравнений второго порядка (со вторыми производными радиальной и азимутальной координат по времени).
      Однако, применение известных нам законов сохранения энергии и момента импульса позволяет резко упростить решение этой задачи. Сведя его к решениям независимых друг от друга двух дифференциальных уравнений первого порядка. Давайте посмотрим - как это делается?

1. Движение в центральном поле.
Рассмотрим сначала общий случай движения в центральном поле (не обязательно в поле тяготения). Поскольку в таком поле момент импульса частицы сохраняется, будем пользоваться ортогональной по определению цилиндрической системой координат, в которой момент импульса направлен вдоль оси «z», а само движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной этой оси. В такой системе координат радиальная скорость частицы vr = dr/dt, азимутальная (угловая) ее скорость vφ = rdφ/dt, а сохраняющийся при движении частицы (планеты) момент ее импульса
Мz = mr²dφ/dt = const. Отсюда следует первое из уравнений движения планеты:

  dφ/dt = Мz/mr².         (1)


И если мы предварительно найдем зависимость расстояния планеты от Солнца от времени r = r (t), то уравнение (1) станет легко интегрируемым дифференциальным уравнением первого порядка.

Теперь
используя уравнение (1) запишем сохраняющуюся полную энергию планеты в таком центральном поле:


 Е = m((dr/dt)² + r²(dφ/dt)²)/2 + U(r) =
       = m(dr/dt)²/2 +
Мz²/2mr² + U(r) = const.      (2)

Выражения (2) есть по сути дифференциальное уравнение первого порядка для определения r = r (t). Никак не зависящее от координаты φ = φ (t). В итоге мы видим, что уравнения (1) и (2) можно интегрировать независимо друг от друга.

Из выражения (2) для Е мы видим, что движение по радиальной координате происходит в некоем "эффективном" поле с потенциалом
Uэфф = U(r) + Мz²/2mr². Второе слагаемое в этом выражении, являющееся по сути кинетической энергией движения по угловой координате, обычно называют центробежным потенциалом. В случае гравитационного поля:

Uэфф = U(r) + Мz²/2mr² = – GmM/r + Мz²/2mr².     (3)

2. Движение в поле тяготения.
Для наглядности построим график
Uэфф (r) в случае поля тяготения:

Из приведенного выше графика можно понять, что:

а) Движение планеты по круговой орбите вокруг центра поля описывается положением планеты в точке дна потенциальной ямы (полная энергия планеты Е = min (Uэфф)).
б) Движение объекта по эллиптической орбите происходит в случаях, когда полная энергия планеты удовлетворяет неравенствам min (Uэфф) < E < 0. В этом случае планета "гуляет" по радиальной координате между двумя точками поворота, соответствующими величине Е.
в) В случае Е > 0 частица на графике имеет только одну точку поворота (внутреннюю). Это означает, что она пришла в окрестности Солнца из бесконечности и затем снова уйдет на бесконечное от него расстояние. В этом случае решение уравнений (1) и (2) описывает гиперболическую орбиту. По таким орбитам двигались недавно открытые межзвездные астероид Оумуамуа (2017) и комета Г. Борисова (2019).
г) Промежуточный случай Е = 0 (скорость частицы на бесконечности равна нулю) на практике не проявляется, а соответствующее решение уравнений (1) и (2) описывает параболическую орбиту.

Движение планеты (частицы) в описанной выше задаче с энергией
E < 0 называют финитным, а движение с Е > 0 - инфинитным.

Tags: Начала физики
Subscribe

  • Что готовится?

    Интересные сообщения прорезались на волгоградском новостном сайте V102. Оба со специфическим военным акцентом. А именно: 1. Под Волгоградом ищут…

  • Расчетная псевдосенсация

    Научные результаты получают разными методами. В том числе: 1. расчетами, основанными на наблюдениях некоей части объекта, 2. прямыми наблюдениями…

  • Об отмене законов капитализма на пространстве ЕАЭС

    Капитал, как известно, стремится вложиться в те страны, где налоги малы и рабочая сила дешева. На этом свойстве, в частности, Китай из…

  • Загадочный снимок

    Красивый снимок. Слева - видимая с ребра плоская спираль NGC 4302, а справа - видимая почти плашмя и заметно меньшая, но тоже плоская спираль NGC…

  • Чем дальше в степь, тем больше мусора и курганов...

    Гипотеза о существовании девятой планеты с массой ~ 10 земных масс и удаленной от Солнца не менее чем на ~ 300 а.е. вряд ли достаточна для…

  • Липовый трафик?

    Как и всякий имеющий платный аккаунт ЖЖ-ист статистику свою просматриваю. Но в последнюю декаду она меня сильно удивила. Обычно ежедневный…

promo moralg march 5, 2018 03:01 44
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 5 comments