Однако, применение известных нам законов сохранения энергии и момента импульса позволяет резко упростить решение этой задачи. Сведя его к решениям независимых друг от друга двух дифференциальных уравнений первого порядка. Давайте посмотрим - как это делается?
1. Движение в центральном поле.
Рассмотрим сначала общий случай движения в центральном поле (не обязательно в поле тяготения). Поскольку в таком поле момент импульса частицы сохраняется, будем пользоваться ортогональной по определению цилиндрической системой координат, в которой момент импульса направлен вдоль оси «z», а само движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной этой оси. В такой системе координат радиальная скорость частицы vr = dr/dt, азимутальная (угловая) ее скорость vφ = rdφ/dt, а сохраняющийся при движении частицы (планеты) момент ее импульса Мz = mr²dφ/dt = const. Отсюда следует первое из уравнений движения планеты:
dφ/dt = Мz/mr². (1)
И если мы предварительно найдем зависимость расстояния планеты от Солнца от времени r = r (t), то уравнение (1) станет легко интегрируемым дифференциальным уравнением первого порядка.
Теперь используя уравнение (1) запишем сохраняющуюся полную энергию планеты в таком центральном поле:
Е = m((dr/dt)² + r²(dφ/dt)²)/2 + U(r) =
= m(dr/dt)²/2 + Мz²/2mr² + U(r) = const. (2)
Выражения (2) есть по сути дифференциальное уравнение первого порядка для определения r = r (t). Никак не зависящее от координаты φ = φ (t). В итоге мы видим, что уравнения (1) и (2) можно интегрировать независимо друг от друга.
Из выражения (2) для Е мы видим, что движение по радиальной координате происходит в некоем "эффективном" поле с потенциалом Uэфф = U(r) + Мz²/2mr². Второе слагаемое в этом выражении, являющееся по сути кинетической энергией движения по угловой координате, обычно называют центробежным потенциалом. В случае гравитационного поля:
Uэфф = U(r) + Мz²/2mr² = – GmM/r + Мz²/2mr². (3)
2. Движение в поле тяготения.
Для наглядности построим график Uэфф (r) в случае поля тяготения:
Из приведенного выше графика можно понять, что:
а) Движение планеты по круговой орбите вокруг центра поля описывается положением планеты в точке дна потенциальной ямы (полная энергия планеты Е = min (Uэфф)).
б) Движение объекта по эллиптической орбите происходит в случаях, когда полная энергия планеты удовлетворяет неравенствам min (Uэфф) < E < 0. В этом случае планета "гуляет" по радиальной координате между двумя точками поворота, соответствующими величине Е.
в) В случае Е > 0 частица на графике имеет только одну точку поворота (внутреннюю). Это означает, что она пришла в окрестности Солнца из бесконечности и затем снова уйдет на бесконечное от него расстояние. В этом случае решение уравнений (1) и (2) описывает гиперболическую орбиту. По таким орбитам двигались недавно открытые межзвездные астероид Оумуамуа (2017) и комета Г. Борисова (2019).
г) Промежуточный случай Е = 0 (скорость частицы на бесконечности равна нулю) на практике не проявляется, а соответствующее решение уравнений (1) и (2) описывает параболическую орбиту.
Движение планеты (частицы) в описанной выше задаче с энергией E < 0 называют финитным, а движение с Е > 0 - инфинитным.
Journal information