Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Categories:

Начала физики. 20. Вращение твердого тела. Тензор инерции.

  До сих пор при изучении законов механики мы пренебрегали размерами отдельных движущихся тел полагая, что проходимый ими путь несоизмеримо больше размеров этих тел. И потому называли их материальными точками или частицами. Исключение сделали лишь однажды, рассматривая движения сплошных сред типа жидкостей и газов. Поскольку в таких средах нет жестких связей между составляющими их молекулами. В таких средах частицами мы называли занятые веществом объемы, размеры которых многократно превышают длину свободного пробега молекул.

      Теперь попробуем учесть размеры движущихся тел, полагая их твердыми телами, состоящими из частиц, расстояния между которыми не меняются со временем. И обратим особое внимание на вращательное движение таких тел.

     
С немалым удивлением мы обнаружим, что мерой инертности вращения твердых тел является отнюдь не их масса, а некая совокупность чисел, которую математики за отсутствием в обыденном языке подходящего слова называют тензором инерции.

Мы знаем, что импульс системы частиц, на которую не действуют никакие внешние силы, в любой инерциальной системе сохраняется. И мы всегда можем перейти в систему отсчета, в которой он равен нулю. Делается этот так. Пусть в некоей системе отсчета К скорости составляющих твердое тело частиц есть vn, где n – номер частицы. Тогда в системе отсчета К`, движущейся относительно К со скоростью V, скорости тех же частиц будут vn` = vnV. И, следовательно, импульсы в системах К и К` будут связаны соотношением:

P = Σmnvn = Σmnvn` + VΣmn = P` + VΣmn,     (1)

где суммирование по n - суммирование по всем частицам твердого тела. Переходя в систему К`, где P` = 0, видим, что скорость системы отсчета, в которой суммарный импульс системы частиц равен нулю, относительно первоначальной системы отсчета есть:

V = Σmnvn/Σmn.        (2)

Поскольку М = Σmn есть полная масса составляющих твердое тело системы частиц, то из выражения (2) для V следует, что его можно представить как производную по времени от скорости перемещения начала координат

R = Σmnrn/М       (3)

системы К` в системе К. Поэтому точку R естественно называть центром инерции системы частиц, покоящейся в целом в системе К`. Другими словами – мы можем переформулировать закон сохранения импульса системы частиц в утверждение о том, что центр инерции системы частиц покоится (или движется равномерно и прямолинейно) если на эту систему частиц не действуют никакие внешние силы.

До сих пор мы за редким исключением рассматривали тела как материальные точки (частицы). Реальные тела имеют конечные размеры и при своем движении нередко вращаются вокруг какой-нибудь оси, ориентированной в заранее непредсказуемом направлении. Тем самым, у реального имеющего конечный объем твердого тела есть не три, как у частицы, а шесть степеней свободы. Три из которых обусловлены его поступательным движением и три – вращательным.

Переходя к изучению движений твердого тела будем считать его совокупностью большого числа частиц, расстояния между которыми постоянны. И памятуя о том, что законы поступательного движения мы уже изучили, сосредоточимся на рассмотрении его вращений. Для этого вращения тела будем рассматривать в системе отсчета, начало которой расположено в центре инерции тела, движущегося со скоростью V относительно исходной системы отсчета (R = Σmnrn = 0).

Мы уже знакомы с понятием угловой скорости
Ω как вектора, направленного вдоль оси вращения и величина которого есть скорость изменения угла φ, под которым мы наблюдаем перемещение частицы из точки, расположенной на оси вращения: dφ/dt. Нарисовав картинку с 2-мя системами отсчета видим, что скорость любой точки твердого тела есть vn = V + [Ωrn].

Вычислим кинетическую энергию движения твердого тела:

T = Σmnvn²/2 = Σmn(V + [Ωrn])²/2 =
= Σmn{V² + 2(
V[Ωrn]) + [Ωrn]²}/2.      (4)

С учетом нашего права на циклическую перестановку сомножителей в смешанном произведении векторов видим, что второй член в этом выражении Σmn(V[Ωrn]) = ([VΩ]Σmnrn) = 0 в связи с тем, что начало координат системы отсчета расположено в центре инерции тела. В итоге видим, что:

T = MV²/2 + Σmn[Ωrn]²/2 =
= MV²/2 + Σmn(Ω²rn² – (Ωrn)²)/2 =

= MV²/2 + Σmn(xnixniδikΩiΩkxnixnkΩiΩk)/2 =

= MV²/2 + ΩiΩkΣmn(xnixniδikxnixnk) =

= MV²/2 + IikΩiΩk/2,                              (5)

где δik – единичный тензор, компоненты которого равны единице при одинаковости индексов и равны нулю при разных индексах, а

Iik = Σmn(xnixniδikxnixnk)       (6)

есть –
тензор инерции тела, являющийся мерой инертности тела относительно его вращательных движений. В явном виде тензор инерции представляет собой двумерную симметричную относительно главной диагонали матрицу 3*3 вида:

    |  Σmn(yn² + zn²);    Σmnxnyn;        Σmnxnzn; |
Iik | Σmnxnyn;        Σmn(xn² + zn²);      Σmnynzn; |    (7)
    | Σmnxnzn;         ΣmnynznΣmn(xn² + yn²);   |

Выбором ориентации осей в системе используемой нами отсчета тензор инерции может быть приведен к диагональному виду. В котором отличными от нуля окажутся только элементы, находящиеся на главной диагонали. Такие оси называют главными. Выбор главных осей существенно упрощается в случаях, когда тело обладает неким набором свойств симметрии.

Например, у однородной вдоль ее длины L прямой палки одна главная ось направлена по оси палки, а две другие перпендикулярны первой и проходят через середину палки. У Земли, как слегка сплюснутого эллипсоида вращения одна гравная ось совпадает с осью вращения Земли, а две другие перпендикулярны ей и проходят через центр Земли и две точки на экваторе. У однородного шара любые три проходящие через центр шара и взаимно перпендикулярные оси являются главными.

Использованная нами техника вычислений методом суммирования по частицам твердого тела после освоения интегрального исчисления может быть успешно заменена на интегрирование по объему твердого тела. При этом:


Σmnf(rn)   ===>  ρ(r)f(r)dV,

где
ρ(r) - объемная плотность твердого тела, dV - элемент его объема, а интегрирование проводится по всему объему тела.


На первый взгляд все вышеприведенные выкладки могут показаться надуманными. Но вы попробуйте повращать длинную палку двумя разными способами - держа ее за конец и за середину. Вы сразу почувствуете, что ее сопротивление вашим усилиям (инертность) в первом случае (когда держите ее за конец) будет гораздо больше, чем когда вы держите ее за середину. Насколько?

Давайте вычислим. Пусть момент инерции палки, относительно перпендикулярной ей оси х, проходящей через середину палки, есть
Io =
Σmnzn² , где ось z проходит вдоль палки (толщиной палки пренебрегаем). При любом параллельном смещении оси х на расстояние b от центра палки координата z преобразуется в z` по правилу z` = z - b. Тогда момент инерции палки относительно новой (смещенной) оси х будет:

Io` = Σmn(zn`)² = Σmn(zn - b)² = Io + Mb²      (8)

где М - масса палки.

Tags: Начала физики
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo moralg march 5, 2018 03:01 44
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 9 comments