Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Category:

Начала физики. 21. Какой частью сабли надо рубить врага?

  На прошлом уроке мы разобрались с мерой инертности твердого тела относительно его вращений. Эта мера оказалась не скаляром - массой, как при поступательном движении, а некоей симметричной относительно своей главной диагонали матрицей размера 3×3.

      Уравнения поступательного движения центра масс твердого тела не должны отличаться от уравнений движения частицы. Поэтому здесь мы озадачимся выводом уравнений вращательного движения твердого тела. И в качестве примера совместного применения уравнений поступательного и вращательного движений твердого тела решим упомянутую в заголовке поста задачу.

Для начала определим момент импульса вращающегося твердого тела. Сделаем это в системе отсчета, начало координат которой находится в центре инерции тела. С учетом того, что в такой системе отсчета скорость каждой входящей в состав твердого тела частицы v = [Ωr], то по определению (индекс суммирования n по координатам, скоростям и массам частиц для краткости опускаем):

M = Σ[rp] = Σm[rv] = Σm[r[Ωr]] = Σm(r²Ω – r()).    (1)

А покомпонентно это будет выглядеть так:

Mi = Σm(xkxkΩixixkΩk)) =
Σm(xixiδikxixk)Ωk = IikΩk,   (2)

где Iik = Σm(xixiδikxixk) - уже знакомый нам с прошлого урока тензор инерции твердого тела.


А теперь выведем уравнения поступательного и вращательного движений твердого тела. Заметим, что все внутренние силы, действующие между его частицами, взаимно сокращаются. И потому внешняя сила, действующая на тело, есть сумма внешних сил, действующих на его частицы. Поэтому полный импульс твердого тела и полная сила на него действующая есть:


P = Σp = МV,      (3)
F = Σf,                (4)

где М - масса тела и V - скорость его центра инерции (масс). Беря производную по времени от этих соотношений получаем:

dP/dt = F = (в случае консервативных сил) = – dU/dr.    (5)

А уравнения для момента импульса будут выглядеть так:


dM/dt = dΣ[rp]/dt = Σ([dr/dtp] +[rdp/dt]) = Σ[rf] = K,    (6)

где К = Σ[rf] момент силы, являющийся суммой моментов сил по всем составляющим тело частицам, а первое слагаемое [dr/dtp] тождественно равно нулю благодаря параллельности скоростей и импульсов частиц тела.

В итоге мы получили шесть уравнений движения твердого тела – по три уравнения для компонент импульса (3) и момента импульса (6). Рассматривать общие технологии их решения не будем по двум причинам. Во-первых, они не очень просты в математическом плане. А во-вторых, решение подобных задач уже не столько предмет физики, сколько предмет технических дисциплин.

Особо заметим, что все вычисления в задачах по динамике твердого тела необходимо проводить в системе отсчета его центра инерции (иначе ошибки становятся неизбежными).

Тем не менее, одну задачку с помощью выведенных нами уравнений решим. Конкретно ту, что поставлена в заголовке поста. Будем считать саблю очень тонкой однородной палкой длины L, которую держим за рукоять на одном конце. Если вы нанесете достаточно сильный удар частью сабли около рукояти или самым дальним от рукояти концом, то вы почувствуете выворачивающие саблю из рук силы. Причем в разных направлениях (попробуйте это на обычной палке). Следовательно, на сабле существует место, где выворачивающая саблю из рук сила обращается в нуль. Нам надо найти это место. Сначала нарисуем саблю, которую вы держите за конец О:
Буквой С обозначим находящийся на середине сабли массы m и длины L центр ее инерции. Пусть искомое оптимальное для удара место на сабле находится от центра масс на расстоянии r. Тогда уравнение поступательного движения центра масс сабли имеет вид (сравни с уравнениями (3)-(5) и пояснениями к ним):

mdV/dt = F,      (7)

где F - сила, воздействующая на саблю в момент удара сабли на тело врага. Сабля при этом вращается с угловой скоростью Ω. Момент ее инерции относительно перпендикулярной сабле оси, проходящей через центр сабли, I = mL²/12. Поэтому момент импульса сабли М = IΩ = mL²Ω/12. Подставляем его в уравнение (6):

mL²/12dΩ/dt = K = Fr,  (8)

Для того, чтобы рукоять (точка О) сабли не испытывала ускорения от удара саблей (выворачивающей ее из рук силы), необходимо, чтобы линейные ускорения от поступательного движения при ударе dV/dt и от вращательного движения (L/2)dΩ/dt оказались противоположными по направлению и одинаковыми по величине в месте, где расположена рукоять сабли:

dV/dt = (L/2)dΩ/dt = F/m = 6Fr/mL.

Откуда получаем  r = L/6. Следовательно, удар саблей надо наносить той ее частью, которая отстоит от рукояти на 2/3 длины сабли.

Tags: Начала физики
Subscribe

Recent Posts from This Journal

promo moralg march 5, 2018 03:01 44
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 8 comments