Начала физики. 28. Пора решать задачи-5.

Определить частоту малых колебаний частицы массы m вблизи точки равновесия в потенциальном поле U = Uo(1 – cos(bx)).
Ответ: ω = √(b²Uo/m).

Эффективный потенциал при движении планеты вокруг Солнца имеет вид Uэфф = – GmM/r + Мz²/2mr², где Мz = mr²dφ/dt – момент импульса планеты. Найти точку равновесия в этом потенциале (радиус круговой орбиты), вычислить период малых колебаний планеты по радиальной координате и сравнить его с периодом обращения планеты вокруг Солнца Т.
Ответ: точка равновесия ro = (GM/Ω²)↑(1/3), где Ω = 2π/Т, период колебаний по радиальной координате совпадает периодом обращения вокруг Солнца, что говорит о замкнутости орбиты.

Два одинаковых математических маятника длины L и массы m (на рисунке)

соединены пружинкой жесткости k и колеблются в противофазе. Определить частоту таких колебаний.
Ответ: ω = √(g/L + 2k/m).

С одного полюса Земли сквозь ее центр до другого полюса просверлена прямая шахта. Считая Землю однородным шаром и пренебрегая сопротивлением воздуха определить: а) за какое время Т отпущенное с нулевой начальной скоростью в шахту тело долетит от одного полюса до другого и вернется обратно, б) скорость vo этого тела в центре Земли. Сравнить полученные ответы с периодом обращения спутника на очень низкой орбите и первой космической скоростью.
Ответ: Т = 2π√(R/g), vo = √(Rg). Величина Т совпадает с периодом обращения спутника на очень низкой орбите, а vo с первой космической скоростью.

В U-образную трубку поперечным сечением S залили идеальную (с нулевой вязкостью) жидкость объемом V. Оценить методом размерностей (по порядку величины) частоту малых колебаний уровня жидкости в такой трубке. Ответ: ω ~ √(Sg/V), точный ответ ω = √(2Sg/V). Откуда видна погрешность метода размерностей.

Определить направления главных осей инерции и вычислить элементы тензора инерции в этих осях в молекуле из двух одинаковых атомов массы m, расстояние между которыми L.
Ответ: Izz = 0, Ixx = Iyy = mL²/2.

Определить направления главных осей инерции и вычислить элементы тензора инерции в этих осях в молекуле из 4-х одинаковых атомов массы m, расположенных в вершинах квадрата со стороной L.
Ответ: Izz = 2mL², Ixx = Iyy = mL².

Определить направления главных осей инерции и вычислить элементы тензора инерции в этих осях в однородной палке массы m, длины L и нулевой толщины.
Ответ: Izz = 0, Ixx = Iyy = mL²/12.