Морозов Александр Гавриилович (moralg) wrote,
Морозов Александр Гавриилович
moralg

Category:

Начала физики. 32. Волновые пакеты. Неопределенности и принцип Гайзенберга на пальцах.

      Здесь мы обсудим пакеты (цуги) волн, определим их характеристики и выведем буквально на пальцах соотношение неопределенности Гайзенберга. И покажем, как каждый из нас, отдыхая на берегу моря, может увидеть работу этого принципа.


      1. Корпускулярно-волновой антропоцентризм.
      Наши мозги и язык всегда в той или иной степени идеализирует реальность. Когда мы говорим о волнах, то представляем себе, как правило, бесконечно длинную волну постоянной амплитуды с одинаковыми расстояниями между горбами волны. Но реальность не такова. Волны всегда образуют волновые пакеты (цуги волн). Примерно такие:

С большим или меньшим числом волновых горбов внутри пакета.

      Кто и как будет воспринимать такой волновой пакет? В начале прошлого века связь и вещание велись на длинных (километры) и средних (сотни метров) электромагнитных волнах. И мы их назвали радиоволнами. Терминология не изменилась при переходе на короткие (десятки метров), ультракороткие (метры) и дециметровые (сотовая связь) волны. Но уже при переходе на диапазон длин волн от миллиметра до микрометра мы уже говорим об инфракрасном излучении, но не о волнах. А для обозначения более коротковолных диапазонов (начиная от видимого света на длинах волн ~ 400-700 нанометров) пользуемся терминами фотоны и кванты. Подразумевая, тем самым, что пакеты таких волн мы воспринимаем как частицы.

      А как будут воспринмать волны инфракрасного и видимого диапазонов (400 нанометров - 1 мм) вирусы, размер которых находится в дипазоне от 20 до сотни-двух  нанометров? Разумеется, как волны. Хотя мы их воспринимаем как фотоны. И только волновые пакеты жесткого ультрафиолета (десятки нанометров) вирусы вынуждены будут воспринимать как очень крупные снаряды. Не столько потому. что длины таких волн сопоставимы с размерами вирусов, сколько по причине того, что энергии таких фотонов заметно превышают энергии связи атомов в молекулах РНК вирусов. По причине чего такие фотоны убивают вирусы.

      Итак, понятие корпускулярно-волнового дуализма в немалой степени антропоцентрично. Поэтому вас не должен удивлять тот факт, что физики при описании многих коллективно-волновых явлений в сплошных стредах стали вводить понятия квазичастиц. Таких, как фононы, являющиеся по сути волновыми пакетами (квантами) колебаний кристаллических решеток в твердых телах.

      2. Неопределенности и принцип Гайзенберга.
      Тот факт, что волновой пакет имеет конечную длину Δх, означает, что в таком пакете есть приличная примесь волн, длина которых отличается от основной, и которые в конечном счете гасят колебания ξ(x,t) на краях пакета. Это можно описать как наличие в пакете заметной примеси длин волн в диапазоне Δλ в окрестности основной длины волны. Или примеси волн с волновыми числами k = 2π/λ в диапазоне Δk в пакете:

                                          ξ(x,t) ~ А(х)cos(2πx/λ - 2πt/T) ~ А(х)cos(kx - ωt).         (1)

      Как определить ширину диапазона Δk? Мы знаем, что любую функцию можно подвергнуть фурье-разложению. И таким способом аккуратно вычислить искомый Δk. Но это трудоемко и ненаглядно. Поэтому пойдем другим путем - методом размерностей, описанным в §1. Размерности Δх и Δk обратны друг другу. И потому из них можно построить только одну безразмерную комбинацию, которая согласно методу размерностей должна быть порядка единицы:

                                                                      ΔхΔk  ~  1.                             (2)

      Соотношение (2) говорит о том, что в пространственно длинном пакете диапазон примесных волновых чисел (длин волн) довольно узок, а в пространственно коротком - широк. Что кажется естественным. Но с первого взгляда соотношение (2) может вызвать подозрение в своей корректности. Проверим его на примере простейших квантовых объектов - пакетов электромагнитных волн (фотонов).
      Как известно, импульс фотона p = ħk, где ħ = h/2π - постоянная Планка-Дирака, h - постоянная Планка. Подставляя p = ħk в (2) получаем:

                                                                      ΔхΔp  ħ.                            (3)

      Но ведь это не что иное, как соотношение неопределенностей Гайзенберга! Надеюсь, такая проверка удовлетворит самых взыскательных читателей.

      3. Наблюдение принципа неопределенности Гайзенберга с пригорка у моря.
      Вытекающий из соотношения (3) принцип неопределенности Гайзенберга часто трактуют следующим образом. Если мы попытаемся своим прибором измерить пространственную координату частицы (пакета волн) с погрешностью в пределах Δх, то в результате такого измерения компонента импульса частицы вдоль той же координаты (компонента волнового числа) станет неопределенной в рамках Δp ~ ħ/Δх (Δk ~ 1/Δх). Продемострируем это утверждение картинкой, которую многие из нас могли наблюдать на берегу моря:

      Из этой картинки видно, что если мы ограничиваем (измеряем) волну вдоль координаты, параллельной передней стенке мола, проходом ширины dx, то в том же направлении возникает неопределенность волнового вектора K на величину dk. Что выражается в искривлении фронта вошедшей внутрь мола волны.

      4. Волны де Бройля.
      Предтечей соотношения неопределенностей Гайзенберга явилась ничуть не противоречащая ему гипотеза де Бройля, предписывающая каждой имеющей массу частице длину волны

                                                  λдБ ~ 2πħ/mv                     (4)

Его в качестве шутливого примера можно применить и к идущему по улице человеку. В системе отсчета домов, мимо которых он проходит, длина волны де Бройля человека λдБ ~ 10-33 сантиметра. Какие мы, однако, коротковолновые!

Tags: Начала физики
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • В этот день 11 лет назад

    Этот пост был опубликован 11 лет назад!

  • Две мышки...

    Две мышки танцуют, хвостиками машут. Но мы видим лишь мгновенный снимок одного их па. Сколько же па еще будет и чем их танец закончится? На…

  • Зоология космических телескопов.

    "Кормовая база" земных телескопов довольно узка - они могут видеть объекты в оптической части спектра электромагнитных волн, близких к…

promo moralg march 5, 2018 03:01 46
Buy for 30 tokens
Многие из нас вздрагивают, когда дорогу нам перебегает черная кошка. Но неприятных последствий обычно не возникает и мы быстро забываем о ней. Но два дня назад на северо-восток США обрушилась очередная буря и совершила совсем не очередное действо - сломала дерево, которое 227 лет назад посадил…
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments